Daftar Istilah2 Matematika

Akar : bilangan yang menyelesaikan suatu persamaan; yaitu saat disubstitusikan ke dalam persamaan sebagai bilangan tidak diketahui, di kanan maupun di kiri tanda sama dengan mempunyai nilai sama.

Aksioma: logika atau matematika yang tidak dapat dibuktikan namun sahih.

Bilangan aljabarik: bilangan yang menjadi solusi bagi polinomial dimana koefisien-koefisiennya semuanya adalah bilangan-bilangan rasional.

Bilangan hiperkompleks: suatu bilangan yang terbentuk dari perluasan konsep bilangan untuk dimensi-dimensi dalam lingkup bilangan kompleks dua-dimensi.

Bilangan imajiner: suatu bilangan yang berada pada absis vertikal dalam bidang bilangan kompleks; bilangan dalam bentuk ai dimana a adalah bilangan riel dan i adalah v-1.

Bilangan irrasional: suatu bilangan riel yang tidak dapat diekspresikan dalam bentuk perbandingan (rasio/nisbah) dari kedua bilangan.

Bilangan kardinal: bilangan tertentu yang menyatakan berapa banyak elemen-elemen yang terdapat dalam suatu himpunan.

Bilangan ordinal: bilangan tertentu yang menyatakan posisi relatif dari suatu elemen yang terdapat dalam suatu himpunan.

Bilangan prima: bilangan natural yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan bilangan satu.

Bilangan riel: bilangan yang diasosiasikan dengan semua titik-titik pada garis bilangan; gabungan antara bilangan-bilangan aljabarik dan bilangan-bilangan transendental.

Bilangan sempurna: suatu bilangan natural yang merupakan hasil perjumlahan dari bilangan-bilangan pembaginya. 

Contoh: 6 = 1 + 2 + 3

Binomial: sebuah pernyataan aljabar yang terdiri dari dua suku.

Contoh: 3x + 5y; 2x4 – 4xyz3

Digit: salah satu dari sepuluh bilangan numeral 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dari sistem bilangan Hindu-Arabik.

Divergen: pernyataan urutan bilangan-bilangan atau deret bilangan-bilangan yang tidak mempunyai batas atau limit.

Elips: Tempat kedudukan atau himpunan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik adalah tetap dan merupakan bilangan tertentu, kedua titik tetap disebut fokus.

Empat operasi: dalam aljabar sebagaimana dalam ilmu-hitung (aritmatika), adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Faktorial: hasil dari semua bilangan natural lebih kecil atau sama dengan bilangan naturan yang dinyatakan secara spesifik. Contoh, 5! = 1.2.3.4.5 = 120.

Geometri Euclidian: geometri yang dikembangkan oleh Euclid yang berisikan dengan postulat 

kesejajaran yaitu: pada garis tertentu dan titik di luar garis, ada satu dan hanya ada satu garis lain yang dapat dibuat melewati titik itu dan sejajar dengan garis pertama.

Geometri Non-Euclidian: geometri yang tidak lagi mendasarkan diri pada postulat kesejajaran.

Geometri proyektif: cabang matematika yang terkait dengan bentuk-bentuk geometrikal yang tidak aklan berubah ketika                  bentuk-bentuk itu diproyeksikan ke bidang yang berbeda.

Harga mutlak: nilai hitung sebuah bilangan berarti bilangan dengan tidak memperhatikan tandanya. Harga mutlak ditunjukkan dengan 2 garis vertikal yang mengelilinginya.

Hiperbola: Tempat kedudukan atau himpunan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tetap merupakan bilangan-bilangan tertentu.

Integer: himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan positif dan bilangan negatif termasuk bilangan nol.

Konvergen: pernyataan urutan bilangan-bilangan atau deret bilangan-bilangan yang mendekati limit.

Lingkaran: tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik-titik) yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

Origin: suatu titik pada garis bilangan yang diasosiakan dengan angka nol, atau titik pada bidang bilangan                  kompleks dimana kedua aksis berpotongan.

Parabola:

- Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik (disebut fokus) dan sebuah garis (disebut direktriks) tertentu.

- Setiap ruas garis penghubung-penghubung tertentu pada parabola disebut titik busur. Tali busur fokal (melewati fokus) yang sejajar dengan direktriks atau tegak lurus sumbu disebut latus rectum.

Paradoks: suatu alasan yang konklusi-konklusinya sendiri saling bertentangan lewat deduksi sahih yang berasal dari premis-premis yang disepakati secara intuitif.

Persamaan polinomial: persamaan dengan satu atau lebih peubah tidak diketahui dalam bentuk pangkat dan dikalikan dengan bilangan-bilangan yang disebut koefisien-koefisien. Persamaan polinomial dengan satu peubah, x, mempunyai bentuk umum a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0

Polinomial: sebuah monomial atau multinomial yang setiap suku adalah integral dan rasional dari huruf-huruf.

Contoh: 5x2y3 – 7x4y + 3x + 2

Quaternions: bilangan kompleks dalam bentuk a + bi + cj + dk dimana a, b, c dan d adalah bilangan riel dan i, j, k adalah bilangan hiperkompleks yang dapat ditulis bentuk i² = j² = k² = ijk = -1.

Radikal: pernyataan berbentuk nva yang berati akar pangkat n bilangan a. Bilangan positif n adalah indeks dari radikal dan bilangan a adalah radikan. Apabila n = 2, maka indeks dihilangkan.

Theorema: pernyataan atau formula yang dideduksi dari seperangkat aksioma dan/atau theorema-theorema lain. Berasal dari bahasa Yunani yang artinya pernyataan matematikal yang dilengkapi dengan bukti. Pembuktian theorema mempunyai kebenaran dasar yang akurat dan tidak dapat disangkal dan disanggah oleh                  siapapun yang mengikuti ketentuan-ketentuan logika, juga bagi siapapun yang menerima aksioma-aksioma mendasar sistem logika.

Trigonometri: ilmu tentang keterhubungan antara sisi-sisi dari suatu segitiga dan pengukuran-pengukuran terhadap sudut-sudut didalamnya

link

MENENTUKAN JUMLAH KOEFISIEN DARI SUATU POLINOM

Langsung ja masuk contoh..
Ada soal kyk gini:

Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom
P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011

Buat orang yg pertama ngerjain soal ini mungkin akan menjawab:
GILA JA GUE DISURUH NGITUNG JUMLAH SEMUA KOEFISIEN!!!
 BEARTI  GUE MESTI NGITUNG SATU-SATU KOEFISIEN DR x^0 , x^1, x^2, ... dst SAMPE  x^4022, TERUS DI JUMLAHIN SEMUANY?? NYIKSA GUE NIMAH!!!  ^__^

sepintas memang terlihat susah. Tp mari kita coba selidiki..
Ada temen bilang gini, "klo mau nyari yg ribet2, mulailah dari yg sederhana terlebih dahulu"

ya udah, daripada kita langsung nyelidikin soal yg di atas, ga kebayang seberapa panjangny hasil penjabaran polinom itu. ^__^

anggap ja soalny kita ganti dengan polinom yg sudah terurai misal
P(x)= Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E
berapa ya jumlah koefisienny??
Gampang ya bearti jumlahny adalah:
A - B + C + D - E
apa hubunganny ya?

coba bandingkan bentuk:
Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E dengan bentuk A - B + C +D - E
bedany yg satu masih ada variabel x , satu lagi ga ada.

Bearti klo kita pengen ngitung jumlah seluruh koefisien, yang mesti kita pikirkan adalah bagaimana cara "MEMBUANG" variabel x dari rumusan polinom.
GIMANA YA CARANYA??!! ^_^
INGET, bentuk
 Dx maknany adalah D "dikali" x
Nah kita pengen menghilangkan variabel x, dengan kata lain, sama ja kita pengen nyari:
D di kali x = D
nah bearti x=1 alias GANTI AJA NILAIi x dengan angka 1 ^__^

ya dah kita coba ja di soal beneran
P(x) = 5x^7 - 2x^6 + 4x^5 + 3x^4 - 10x^3 + 7x^2 - 9x + 11
dr penulusuran kita, cara untuk mencari jumlah semua koefisien adalah dengan mengganti x=1 atau kita cari nilai dr P(1), bearti:
P(1) = 5(1)^7 - 2(1)^6 + 4(1)^5 + 3(1)^4 - 10(1)^3 + 7(1)^2 - 9(1) + 11
P(1) = 5 - 2 + 4 + 3 - 10 + 7 - 9 + 11
"TERNYATA P(1)TAK LAIN ADALAH JUMLAH DR SEMUA KOEFISIEN"
KITA DAH DAPET KESIMPULAN, TINGGAL COBA KE MASALAH YG DI ATAS.

Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom
P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011

klo dijabarin akani membentuk:
P(x)=ax^4022 + bx^4021 + cx^4020 + . . .
dengan jumlah koefisien adalah:
a + b + c + . . .
sama aja dengan contoh yg sederhana td khan??
bearti kita tidak perlu menjabarkan, dan untuk menjawabny CUKUP dengan mencari nilai P(1)

Jd jumlah koefisien dr penjabaran P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011adalah:
P(1) = (5 - 7 + 3)^2011 = (1)^2011 = 1
GAMPANG KHAN?? ^__^

Oleh Denis Kinta, Fachru Rozei, dan Yuyus Bahtiar
link

DERET TELESKOPIK

Deret Teleskopik secara sederhana bisa di katakan sebagai deret yg suku-sukuny saling menghilangkan atau saling mengeliminasi. Ada jg yg menyebutny dengan sebutan Deret Berjatuhan..
Kenapa namany jd Teleskopik?? katany seh deretny menyerupai bentuk teleskop, gede di bagian atas, trus semakin kebawah semakin mengecil..
Kayaknya klo bicara Teori takut yg baca jd ngantuk. ^_^
Kita bahas ja contoh2 soalny.
1. Tentukan nilai 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n(n+1) = ...

bagaimana cara menjawabny ya?? Klo yg udah tahu seh langsung ja jawabanny jd n/(n+1), cmn yg jadi masalah, darimana jawaban itu di peroleh??
Tentuny kita tidak mau tahu jawaban, tapi tidak tahu bagaimana cara dapetin jawabanny. ^_^
Ide menjawabny sederhana aja, kita mulai "PECAH" dulu rumusan Un ny..1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)  "silahkan buktikan kesamaan ini sebagai latihan"
dengan menggunakan kesamaan ini, kita bisa merubah semua suku pada soal menjadi:
1/2 = 1/1 - 1/2 = 1 - 1/2
1/6 = 1/2 - 1/3
1/12 = 1/3 - 1/4
1/20 = 1/4 - 1-5
1/30 = 1/5 - 1/6
.
.
.
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
Sehingga:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n(n+1)
 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1-5 + 1/5 - 1/6 +...+   1/n - 1/(n+1)
= 1 + [- 1/2 + 1/2]+[ - 1/3 + 1/3] +[- 1/4 + 1/4] +[- 1-5 + 1/5]+[ - 1/6+1/6] + ...+ [ - 1/n+ 1/n] - 1/(n+1)
nah perhatikan suku2 dalam tanda [...], semuany saling menghilangkan khan?? ato stiap dalam tanda [..] hasilny jd 0.
akibatny:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n(n+1)= 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)
Gampang khan.. ^__^

Kita coba soal lain:
2. Tentukan nilai dari 1/3 + 1/8 + 1/15 + 1/24 + ...  =  ??

di soal ini, rumusan Un tidak dikasih lihat..
(mang jarang di kasih lihat. hehehe.. justru tugas kita buat nyari rumusan dr Un, dan itu bakal jd kunci pemecahan soal)
1/3 = 1/(1x3)
1/8 = 1/(2x4)
1/15 = 1/(3x5)
dst

dr sini bisa kita simpulkan bahwa Un=1/[n(n+2)]
kita coba pecah rumusan Un
1/n - 1/(n+2) = 2/[n(n+2)] ---> jika kedua ruas dibagi dengan 2, akan di dapat:
(1/2)[1/n - 1/(n+2)]= 1/[n(n+2)]

Un = 1/[n(n+2)]  = (1/2)[1/n - 1/(n+2)]
sehingga:
1/3 = 1/(1x3) = (1/2)[1/1 - 1/3] = (1/2)[1 - 1/3]
1/8 = 1/(2x4)= (1/2)[1/2 - 1/4]
1/15 = 1/(3x5)=(1/2)[1/3 - 1/5]
1/24 = 1/(4x6) = (1/2)[1/4 - 1/6]
dst

perhatikan suku yg tandany positif, dan tandany negatif!
maka:

1/3 + 1/8 + 1/15 +  ... = (1/2)[(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - (1/3 + 1/4 + 1/5 + ...)]

1/3 + 1/8 + 1/15 +  ... = (1/2)(1 + 1/2)
 1/3 + 1/8 + 1/15 + ...  = (1/2)(3/2) = 3/4 selesai.. ^__^

BUAT LATIHAN SILAHKAN COBA SOAL KIRIMAN DARI MAS HENDRI SPEED KEMAREN.
 SOAL INI LUMAYAN MEMBUAT ANGGOTA SOULMATE PADA BINGUNG..
Soalny:
1/(3^2 + 1) + 1/(4^2 + 2) + 1/(5^2 + 3) + 1/(6^2 + 4) + ... = ???
Clue: Un= 1/[(n+2)^2 + n]

link

Ekspansi Multinomial

Ingatkah permutasi dengan sejumlah unsur yang sama?
Tentu rumusnya adalah

n!/k!
n adalah banyaknya anggota dan k adalah banyaknya unsur yg sama

biar lebih mudah saya ambil contoh:

banyaknya cara menyusun kata ABBCCCDDDDEEEEEFFFFF.....JJJJJJJJJJ adalah:
A=1 --->k1=1
B=2 --->k2=2
C=3 --->k3=3
D=4 --->k4=4
E=5 --->k5=5
F=6 --->k6=6
G=7 --->k7=7
H=8 --->k8=8
I=9 --->k9=9
J=10 --->k10=10
n=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
banyak cara yang diperlukan adalah
55!/(1!.2!.3!.4!.5!.6!.7!.8!.9!.10!)

nah, sekarang Ekspansi Multinomial:
Ekspansi Multinomial adalah bentuk dari Ekspansi Binomial yang dibuat lebih umum lagi:

(A1+A2+A3+...+An)^m
dengan koefisien A1^m1 A2^m2 .... An^mn adalah:m!/m1!m2!....mn!

sebagai contoh, kita ambil m=3, didapat (A+B+C)^m yg tersusun dari (A^m1)(B^m2)(C^m3) dengan m1+m2+m3=m yg memiliki koefisien
m!/(m1!.m2!.m3!)

Contoh: Tentukan Koefisien dari (A^3)B pada bentuk (A+B+C)^4
jawab: 4!/3!.1!.0! = 4

Nah sekarang ayo dicoba:
Temukan koefisien (X^2)(Y^3) pada bentuk berikut
(a) (X+Y+1)^7
(b) (X^2 + Y -1)^7

Tentukan koefisien pangkat 9 dari (1+y+y^2)^5
Hint: 9 = 1 + 2(4)

nah dan masih banyak lagi soal2 yang berkaitan dengan Ekspansi Multinomial

Satu Lagi!

(a1+a2+...+an)^m = sigma[0 s/d m] (m!/(m1!m2!...mn!))(a1^m1.a2^m2...an^mn) dg m=m1+m2+...+mn
jika kita ambil n=2 didapat:
(a1+a2)^m = sigma [0 s/d m] (m!/m1!(m-m1)!)a1^m1.a2^(m-m1) ----> jadi binomial newton.

semoga informasi ini bisa menambah wawasan kita mengenai Matematika.

AYO KITA PELAJARI LEBIH JAUH TENTANG MATEMATIKA! BANYAK HAL TAK TERDUGA DI SANA.
 ^_^
Oleh Nur Kholis dan Fachru Rozei di SOUL-MATE-MATIKA JILID 1
link

AM-GM-HM dan QM

"QM-AM-GM-HM"

apa itu?

QM = adalah Qudatratic Mean (Rataan Kuadrat)
AM = adalah Arithmetic Mean (Rataan Aritmatik / Rataan Hitung)
GM = adalah Geometric Mean (Rataan Geometrik / Rataan Ukur)
HM = adalah Harmonic Mean (Rataan Harmonik)

QM = [[(x1)^2 + (x2)^2 + ... + (xn)^2]/n]^(1/2)
AM = (x1 + x2 + x3 + ... + xn)/n
GM = (x1.x2.x3......xn)^(1/n)
HM = n/[1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + ... + 1/xn]

dan akan selalu berlaku bahwa

QM >= AM >= GM >= HM

Bukti:
kita ambil n=2

(a-b)^2 >= 0
a^2 - 2ab + b^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2ab

kedua ruas ditambah a^2 + b^2 lalu dikalikan 2 diperoleh:

4(a^2 + b^2) >= 2(a^2 + 2ab + b^2)
(a^2 + b^2)/2 >= (a^2 + 2ab + b^2)/4
(a^2 + b^2)/2 >= [(a+b)^2]/2^2
(a^2 + b^2)/2 >= [(a+b)/2]^2

[(a^2 + b^2)/2]^(1/2)>= (a+b)/2

QM >= AM

(Va-Vb)^2 >= 0
a - 2Vab + b >= 0
a+b >= 2Vab

(a+b)/2 >= (ab)^1/2

ket: V=akar kuadrat

AM >= GM

jika kedua ruas kita kalikan Vab dan dibagi (a+b) diperoleh

(Vab)/2 >= ab/(a+b)
Vab >= 2ab/(a+b)
Vab >= 2/[(a+b)/ab]

(ab)^1/2 >= 2/[1/a + 1/b]

GM >= HM

untuk n>2 bisa dibuktikan dengan metode induksi

CONTOH SOAL:

Buktikan bahwa setiap bilangan real positif x,y berlaku:

x/y + y/x >= 2

SOLUSI:

set a= x/y dan b=y/x pada AM-GM diperoleh:

(x/y + y/x)/2 >= V(x/y . y/x)
(x/y + y/x)/2 >= 1

x/y + y/x >= 2 Terbukti

CONTOH 2:

Buktikan bahwa:

(a + b + c + d)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 16

SOLUSI:

AM >= HM

(a + b + c + d)/4 >= 4/(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
gunakan perkalian silang diperoleh:

(a + b + c + d)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 4.4=16 Terbukti

CONTOH 3:

Buktikan bahwa:
jika n! = 1.2.3...n, maka

(500)^999 >= 999!

SOLUSI:

AM >= GM

(1+2+3+999)/999 >= (1.2.3.....999)^1/999

ingat bahwa 1+2+...+n = n(n+1)/2 shg (1+2+..+n)/n = n(n+1)/2n = (n+1)/2
dengan demikian:

1000/2 >= (999!)^1/999

500 >= (999!)^1/999

(500)^999 >= 999! Terbukti,

Nah masih banyak soal yg lainnya,

Silakan Soal2 berikut dicoba:

1) untuk a, b >0 buktikan bahwa

[(a+n.b)/(n+1)]^(n+1) >= a.b^n

2) Jika a,b>0 dan a+b=1 buktikan bahwa:

[a+1/a]^2 + [b+1/b]^2 >= 25/2